矩阵等价的充要条件 矩阵相似的性质

矩阵等价的充要条件

矩阵等价充要条件:在线性代数和矩阵论中,有两个m*n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n*n阶可逆矩阵,Q是m*m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等.

这个是正确的.先说必要性:一个m * n矩阵的初等行变换可用左乘若干个m阶初等矩阵(初等矩阵是一种满秩的n阶方阵),并右乘若干个n阶初等矩阵实现.这个过程是不改变矩阵的秩和类型的.再说充分性:就是把两个同型、同秩的矩阵用上述方法都化成标准型.由于左、右乘初等矩阵都是可逆的,所以可以得到从一个矩阵到另一矩阵的初等变换序列,从而它们等价.

证明: (必要性)设a与b等价,则b可以看成是a经过有限次初等变换得到的矩阵,而 初等变换不改变矩阵的秩,所以r(a)=r(b). (充分性)设r(a)=r(b),则a、b的标准型都为 er o o o 即a、b都与 er o o o 等价,从而a与b等价.

矩阵相似的性质

设A,B是n阶矩阵,如存在可逆矩阵P是P'AP=B 则成矩阵A,B相似 记为A~B 这里P'表示P的逆矩阵 下面一样 性质 A B有相同的特征值 A B有相同的即 也就是主对角线元素之和相等 R(A)=R(B) |A|=|B| 以上这些是必要条件 A+kE~B+kE |A+kE|=|B+kE| R(A+kE)=R(B+kE) A^T~B^T 如果A~B 且A B都可逆 则A'~B' 如果A~B,B~C则A~C

设A,B和C是任意同阶方阵,则有: A~ A ;若A~ B,则 B~ A;若A~ B,B~ C,则A~ . 则它们的逆矩阵也相似.扩展资料:n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵.

相似矩阵的特征向量也有联系 设 Aα = λα, P^-1AP = B 则有 (P^-1AP) (P^-1α) = λ(P^-1α) 即 B(P^-1α) = λ(P^-1α) 即 P^-1α 是 B 的属于特征值 λ 的特征向量

矩阵合同的性质

它们有相同的正负惯性系数 它们有相同的规范型.

矩阵合同的性质是? 还有,矩阵若相似就一定合同么??? 求大神们解答,,答:以下依网文整理,没有进行严格证明分析,仅供参考.命题一:实对称矩阵A相似于实对.

两个合同矩阵的共同点:1、这两个矩阵的正负惯性指数相同;2、这个两个矩阵的秩相同3、这个两个矩阵均是实对称矩阵.合同矩阵的性质:1、反身性:任意矩阵都与其自身合同;2、对称性:矩阵A合同于矩阵B,则可以推出矩阵B合同于矩阵A;3、传递性:矩阵A合同于矩阵B,矩阵B合同于矩阵C,则可以推出矩阵A合同于矩阵C.扩展资料:矩阵合同的判别1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数(即正、负特征值的个数相等).参考资料来源:搜狗百科-合同矩阵

如何判断两个矩阵等价

这个没有很好用的充分必要条件, 只能用定义或简单结论 因为合同必等价, 所以 若两个矩阵的秩不相同, 则它们不是合同的 若存在可逆矩阵C, 使得 C'AC = B, 则A与B合同 , 这是从定义的角度考虑.若给两个显式矩阵, 判断它们是否合同, 只能把它们化成标准形, 比较它们的正负惯性指数 正负惯性指数分别相等则合同, 否则不合同.满意请采纳^_^.

判断两个矩阵是否相似的方法: (1)判断特征值是否相等.(2)判断行列式是否相等.(3)判断迹是否相等.(4)判断秩是否相等.两个矩阵相似充要条件是:特征矩阵等价.

可以认为这两个等价的意思是一样的吧 等价的定义是:存在可逆矩阵p和q,使qap=b,则称矩阵a与矩阵b等价 而相似的定义则是:存在可逆矩阵p,使p^(-1)ap=b,则称矩阵a与矩阵b相似,(p^-1表示p的逆矩阵) 合同的定义:存在可逆矩阵p,使(pt)ap=b,则称矩阵a与矩阵b合同,(pt表示p的转置) 从上面的式子里可以看出,p^(-1)以及pt都是q的特殊情况,所以,如果两个矩阵相似,或者合同的话,它们一定是等价的 也就是说相似,合同都是等价的特殊情况

两个矩阵等价的条件

矩阵等价充要条件:在线性代数和矩阵论中,有两个m*n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n*n阶可逆矩阵,Q是m*m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等.

是的.同型矩阵等价则PAQ=B,所以r(B)=r(PAQ)=r(A),反之,由于A和B等秩,说明两者有相同的行最简型E11+E22+……+Err,即存在可逆矩阵P,Q,P'和Q',有PAQ=P'BQ'=最简型,即(P'-1P)A(QQ'-1)=B,所以A和B等价.

两个矩阵A,B等价<=> 两个矩阵B,A等价<=> 存在满秩矩阵P,Q,使得PAQ=B 或 PBQ=A 或PA=BQ 或 AP=QB 或PB=AQ 或BP=QA<=> 两个矩阵A,B同维度(行数列数均相同)且同秩<=> 两个矩阵各自的行向量形成的向量空间是等价的向量空间,列向量也类似.