范德蒙行列式证明过程 代数余子式例题及解析

范德蒙行列式证明过程

数学归纳法证明

考虑关于a,b,c,d,e的5*5矩阵的范德蒙行列式|A|,其中A为那个范德蒙矩阵.这个行列式的值应该等于关于a,b,c,d的范德蒙行列式的值(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(不妨设为.

>> syms a b c d e>> a=[a^4,a^3,a^2,a,1;b^4,b^3,b^2,b,1;c^4,c^3,c^2,c,1;d^4,d^3,d^2,d,1;e^4,e^3,e^2,e,1] a = [ a^4, a^3, a^2, a, 1] [ b^4, b^3, b^2, b, 1] [ c^4, c^3, c^2, c, 1] [ d^.

代数余子式例题及解析

A34 = (-1)^(4+3) M34 = (-1)* -1 0 0 1 7 0 2 4 6 = - (-1)*7*6 = 42

例如m11,就是将第一行第一列划去,得到一个2*2的行列式,计算它的值就是其余子式 因此,对于N*N的矩阵,其元素(m,n)对于的余子式就是划去第m行所有元素和第n行所有元素之后,得到的一个(N-1)*(N-1)的行列式,其值就是余子式,因此有多少个元素就有多少个余子式,另外,你还需要注意区分代数余子式,这个是带了符号的,其符号为(-1)^(m+n)

显然根据代数余子式的性质有:第1行的元素,分别与第3行的代数余子式相乘,结果会得到0.(原理是:这个结果相当于,将第3行元素替换为第1行元素,得到新行列式(第1、3行相同,显然行列式为0),然后按照第3行展开的结果:必然为0) 即1*2+ 2x +3*6 -2*15=0 解得 x=5

行列式数学归纳法

n=1时显然成立 设(aij)=A,(bij)=B,等式左边的行列式为G(n) 假设n-1时成立,即G(n-1)=A(n-1)乘以B(n-1), 那么n时,按第一行展开,G(n)=所有a1i乘上它在G(n)中的代数余子式并求和 而每个a1i在G(n)中的代数余子式就等于a1i在A(n)中的代数余子式乘上B(n)的行列式 所以G(n)等于B(n)的行列式再乘上(a1i乘上它在A(n)中的代数余子式并求和), 也就等于B(n)的行列式乘上A(n)的行列式 这是分块矩阵的基本性质,一般高等代数书上都有证明.

显然n=1时,行列式为cosa成立,n=2时,行列式等于cosa * 2cosa -1 = cos2a成立 我们对这个行列式从最后一行展开,显然 对于最后一个2cosa,对应的余子式=D(n-1) 对于.

按第1列展开,得到 xDn-1+(-1)^(n+1)an(-1)^(n-1)=xDn-1+an 依次类推,得到=x(xDn-2+an-1)+an=x(x(xDn-3+an-2)+an-1)+an=.=图中等式右边的结果

范德蒙公式是什么意思

对行列式转置,(根据行列式性质第一条.)行列式即成范德蒙行列式: D=|1 1 1 1| 1 2 3 4 1² 2² 3² 4² 1³ 2³ 3³ 4³ =(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1) =1*2*3*1*2*1=12

基本思路是使用归纳法. 并对行列式降阶. 具体过程如下:

I＂＂kl..kl.hbl./;l../n

余子式的计算例题

例如m11,就是将第一行第一列划去,得到一个2*2的行列式,计算它的值就是其余子式 因此,对于N*N的矩阵,其元素(m,n)对于的余子式就是划去第m行所有元素和第n行所有元素之后,得到的一个(N-1)*(N-1)的行列式,其值就是余子式,因此有多少个元素就有多少个余子式,另外,你还需要注意区分代数余子式,这个是带了符号的,其符号为(-1)^(m+n)

A34 = (-1)^(4+3) M34 = (-1)* -1 0 0 1 7 0 2 4 6 = - (-1)*7*6 = 42

余子式要相对于行列式zd的元素而论,不能单说 “行列式的余子式”.比如:三阶行列式 |a11 a12 a13| a21 a22 a23 a31 a32 a33 要给出 a22 的余子式,那么就是从行列式中《划去》a22所在行、所回在列的所有元素,其它元素照原样排列.所以,a22的余子式=|a11 a13| a31 a33 若 要求出某个元素的《代数余子式》,则还要在《余子式》的基础上乘一个《位置系数》——(-1)^答(i+j) 例如,a23的代数余子式=(-1)^(2+3)*|a11 a12| =-|a11 a12| a31 a32 a31 a32