定积分计算例题及答案

定积分计算例题及答案

定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算函数在某一区间上的累积效应。通过定积分，我们可以求解面积、体积、质量等问题。本文将通过几个例题来展示定积分的计算方法，并提供详细的解答过程。

例题1：计算定积分 $\int_0^1 x^2 \, dx$

解答：

首先，我们需要找到被积函数 $x^2$ 的原函数。根据微积分的基本定理，$x^2$ 的原函数是 $\frac{1}{3}x^3$。

接下来，我们应用牛顿-莱布尼茨公式来计算定积分：

\[

\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1

\]

将上限和下限代入原函数：

\[

\left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}

\]

因此，$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$。

例题2：计算定积分 $\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx$

解答：

首先，找到被积函数 $\frac{1}{x}$ 的原函数。根据微积分的基本定理，$\frac{1}{x}$ 的原函数是 $\ln|x|$。

接下来，应用牛顿-莱布尼茨公式：

\[

\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_1^2

\]

将上限和下限代入原函数：

\[

\left[ \ln|x| \right]_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2

\]

因此，$\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln 2$。

例题3：计算定积分 $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$

解答：

首先，找到被积函数 $\sin x$ 的原函数。根据微积分的基本定理，$\sin x$ 的原函数是 $-\cos x$。

接下来，应用牛顿-莱布尼茨公式：

\[

\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi}

\]

将上限和下限代入原函数：

\[

\left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2

\]

因此，$\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 2$。

例题4：计算定积分 $\int_0^1 e^x \, dx$

解答：

首先，找到被积函数 $e^x$ 的原函数。根据微积分的基本定理，$e^x$ 的原函数是 $e^x$。

接下来，应用牛顿-莱布尼茨公式：

\[

\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1

\]

将上限和下限代入原函数：

\[

\left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

\]

因此，$\int_0^1 e^x \, dx = e - 1$。

通过以上例题，我们可以看到定积分的计算过程主要包括以下几个步骤：

1. 找到被积函数的原函数。

2. 应用牛顿-莱布尼茨公式，将上限和下限代入原函数，计算定积分。

定积分的计算在实际应用中具有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域。掌握定积分的计算方法，对于理解和解决实际问题具有重要意义。