不定积分难题集锦 不定积分100题及答案

不定积分难题集锦

不定积分是微积分中的一个重要概念，涉及求解函数的原函数。虽然许多不定积分问题可以通过基本的积分规则和技巧解决，但也有一些问题因其复杂性和独特性而成为难题。本文将介绍一些具有挑战性的不定积分问题，并提供相应的解题思路和方法。

1. 三角函数与指数函数的混合积分

问题： 求解不定积分 $\int e^x \sin(x) \, dx$。

解题思路： 这是一个典型的三角函数与指数函数混合的积分问题。可以通过分部积分法来解决。设 $u = \sin(x)$ 和 $dv = e^x \, dx$，则 $du = \cos(x) \, dx$ 和 $v = e^x$。应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得到：

\[

\int e^x \sin(x) \, dx = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx

\]

接下来，再次应用分部积分法处理 $\int e^x \cos(x) \, dx$，最终可以得到一个递归关系，从而求解出原积分。

2. 分式函数的积分

问题： 求解不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx$。

解题思路： 这是一个分式函数的积分问题。首先，通过配方将分母化为标准形式：

\[

x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1

\]

然后，令 $u = x + 2$，则 $du = dx$，积分变为：

\[

\int \frac{1}{(x+2)^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du

\]

这是一个标准的反正切函数的积分，结果为 $\arctan(u) + C = \arctan(x+2) + C$。

3. 复杂根式的积分

问题： 求解不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx$。

解题思路： 这是一个涉及复杂根式的积分问题。可以通过三角代换法来解决。令 $x = \tan(\theta)$，则 $dx = \sec^2(\theta) \, d\theta$，积分变为：

\[

\int \frac{1}{\sqrt{\tan^2(\theta) + 1}} \sec^2(\theta) \, d\theta = \int \frac{\sec^2(\theta)}{\sec(\theta)} \, d\theta = \int \sec(\theta) \, d\theta

\]

这是一个标准的 $\sec(\theta)$ 函数的积分，结果为 $\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$。通过反代换，最终得到 $\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}| + C$。

4. 高次多项式与三角函数的混合积分

问题： 求解不定积分 $\int x^3 \sin(x^2) \, dx$。

解题思路： 这是一个高次多项式与三角函数混合的积分问题。可以通过变量代换法来解决。令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，积分变为：

\[

\int x^3 \sin(x^2) \, dx = \int x^2 \sin(x^2) \cdot x \, dx = \frac{1}{2} \int u \sin(u) \, du

\]

接下来，应用分部积分法处理 $\int u \sin(u) \, du$，最终可以求解出原积分。

不定积分问题多种多样，涉及的技巧和方法也各不相同。通过掌握基本的积分规则和灵活运用各种积分技巧，可以解决许多看似复杂的不定积分问题。希望本文介绍的几个难题能够帮助读者更好地理解和掌握不定积分的求解方法。